どちらも提案・勧誘を表す表現ですが，使い方と感覚が少し異なっています。

■How about～？（aboutの後は名詞または動詞のing形が続きます）
相手に「～（して）はどうですか？」と提案・勧誘する表現です。そこに話し手が含まれる場合もありますし，含まれない場合もあります。
［例］
・How about another cup of tea? （お茶のおかわりはいかがですか？）
→相手にお茶のおかわりをすすめています。

・How about going for a walk? （散歩に行くのはどうですか？／散歩に行きませんか？）
→相手が行くことを提案する場合と，一緒に行くことを勧誘する場合にも使います。Why don't we～？よりも，やや丁寧で控えめに提案・勧誘するイメージです。

■Why don't we～？（weの後は動詞が続きます）
weという語が含まれていますので，話し手と相手が一緒に何かすることを提案・勧誘しています。
How about～？よりもややくだけた表現で，親しい友人などとの会話でよく使われます。
［例］
・Why don't we take a coffee break?　（ひと休みしてコーヒーでも飲まない？）

・Why don't we go to the park？　　　（公園へ行かない？）
→Why don't we～？の文は，もともと「わたしたちはなぜしないの」という文ですので，「なぜしない→すればいいのになぜしない→しようよ！」といった意味になります。提案の程度がやや強いともいえます。