Let's=Let us を省略した形です。
「let」は(~させる)という意味で「使役動詞」と呼ばれています。
<let+(人)+動詞の原形~>((人)に~をさせる)と使います。
Let'sも直訳すると(わたしたちに~させて)となりますが,「Let's~」(~しましょう)は決まった表現なのでそのまま覚えておきましょう。
また,後ろは必ず「動詞の原形」になることも忘れないようにしましょう。
[例]
・Let's have lunch. (お昼にしましょう)
・Let's play baseball. (野球をしよう)
・Let me do it. (わたしにそれをやらせて)
・Let it be. (あるがままに)※ビートルズの有名な歌の題名にもなっています。