「何曜日」かを尋ねるときは, what dayを使います。
「何月何日」かを尋ねるときは,what dateやwhat day of the monthを使います。
・What day is it today?(今日は何曜日ですか)/ It's Sunday.(日曜日です)
→このdayはSundayやThursdayなどについているday,つまりday of the weekのことで
「曜日」を質問する文です。
What day is today? という表現もあります。
・What date is it today?(今日は何月何日ですか)/ It's January 1.(1月1日です)
→dateというのは,英語で「日付,年月日」を表します。
What day of the month is today?,What is the date today?,What date is today?
という表現もあります。