元は，日本を含む東アジア全体を完全に支配しようとしていたからです。

元(モンゴル人の国)の前身のモンゴル帝国は，東ヨーロッパからアジアまで支配する一大帝国となりました。
さらに東アジア地域を完全に支配しようと，まだ手をつけていない日本に国書(手紙)を送ってきました。
しかし支配下におかれかねないような内容だったため，鎌倉（かまくら）幕府は国書を無視し続け，(のちに元となった)フビライ・ハンの怒りをかいます。

１度目の[文永の役(1274年)]は，元軍の力を見せつける程度で終わりました。
その後，7年間何もなかったわけではないのです。
元は別の国を征服していました(中国南部の[南宋（なんそう）]という国を支配)。
日本側もその間，元の再来を予想し，防備を進めました。

２度目の[弘安の役(1281年)]は，元も大軍で攻めてきました。
しかし，台風がきたという幸運もあって，日本は勝つことができました。

その後，元の支配を受けた国が反乱を起こし，元は鎮圧に手間どられました。
元寇（げんこう）の兵士は主に支配下におかれた朝鮮半島の[高麗（こうらい）]や[南宋]からかりだされていたので，その兵士たちの国が反乱を起こしたおかげで，日本は３度目の元寇を受けずに済んだともいえます。