「何曜日」かを尋ねるときは， what dayを使います。
「何月何日」かを尋ねるときは，what dateやwhat day of the monthを使います。

 

・What day is it today?（今日は何曜日ですか）/ It's Sunday.（日曜日です）
→このdayはSundayやThursdayなどについているday，つまりday of the weekのことで

「曜日」を質問する文です。

What day is today? という表現もあります。

 

・What date is it today?（今日は何月何日ですか）/ It's January 1．（1月1日です）
→dateというのは,英語で「日付，年月日」を表します。
  What day of the month is today?，What is the date today?，What date is today?

という表現もあります。