お子さまにとって、ゲームは上達が実感でき、興奮や満足感が得やすいのでしょうし、お友だちとの会話をする上でも大事なコミュニケーションツールなのでしょうね。
「約束」は成長とともに更新されていいと思っています。かたくなに守らせるの一点張りでは、親も子も息が詰まってしまいます。
ゲームとうまく付き合ってほしいとお考えならば、急にゲームを一切やめることは無理でしょうが、これからどのように付き合っていってほしいのかをお子さんに率直に伝え、おうちのかたみんなで話すことが大切だと思います。
決して一方的に決めつけることはせず、話し合って納得することが大切なので、結論はすぐには出なくていいと思います。何度も話し、暫定的に出したものはその時々で更新してもよいというくらいにとらえ、流動的でやわらかい目標としての約束ができればいいのではないでしょうか。お子さまと膝を交えてゆったりと話してみてくださいね。