「write with a pen」で「ペンで書く」という意味なので,「with」が必要です。「write with ~」でひとまとまりの動詞と考えるとよいでしょう。
■前置詞で終わる「to+動詞の原形」の文について
「ペンで書く」というときは,「write a pen」とは言いません。(「write a pen」だと,「ペンを書く」という意味になってしまいます)「Do you have a pen to write with?」のように,前置詞で終わる文は不自然に感じるかもしれませんが,前置詞「with」は動詞「write」の一部と考えてください。 「write with ~」のように,「動詞+前置詞」でひとまとまりの動詞になるものは,他にもあります。
[例]
・write on ~ (~に書く)
・play with ~(~で遊ぶ)
これらを「to+動詞の原形」の文で使うと,以下のようになります。
・Do you have paper to write on? (あなたは書くための紙を持っていますか)
・The children have a lot of toys to play with.(その子どもたちには遊ぶおもちゃがたくさんあります)
以下の2つの文を比較してみましょう。
(1)Give me something to write with. (何か書くためのものをください)
(2)Give me something to write on. (何か書くためのものをください)
日本語にするとまったく同じ文になりますが,(1)は「with」を使っているのでペンなどの筆記用具,(2)は「on」を使っているので紙のことを表しているのがわかります。
前置詞ひとつで意味が変わってしまうので注意しましょう。