言い切りの形の語尾が異なるため,違う品詞に分類されます。
「ある」「ない」は,どちらも活用のある自立語です。
活用のある自立語は,言い切りの形(終止形)の語尾で品詞を分類します。
・言い切りの形の語尾が「ウ段の音」→動詞(「歩く・見る」など)
・言い切りの形の語尾が「い」 →形容詞(「明るい・美しい」など)
・言い切りの形の語尾が「だ・です」→形容動詞(「静かだ・元気だ」など)
「ある」は語尾が「ウ段の音」なので動詞,「ない」は語尾が「い」なので形容詞となります。
品詞は文法上の役割や性質で単語を分類したものなので,対義語であっても品詞が異なる場合もあることに注意しましょう。