「同じくらい(たくさんの)本」と言う場合,manyは形容詞で,名詞bookを修飾する働きをします。
このように,〈as ~ as …〉の〈~〉の部分の形容詞が名詞を修飾する場合は,〈形容詞+名詞〉を離さずに,〈as+形容詞+名詞+as …〉の語順になります。
Reiko is as old as Yuki.
→ふつうの〈as ~ as …〉
(レイコとユキは同じ年です)
Reiko has as many books as Yuki.
→ 〈形容詞+名詞〉を離さない!
(レイコはユキと同じくらい(たくさんの)本を持っています)