「同じくらい（たくさんの）本」と言う場合，manyは形容詞で，名詞bookを修飾する働きをします。
このように，〈as ～ as …〉の〈～〉の部分の形容詞が名詞を修飾する場合は，〈形容詞＋名詞〉を離さずに，〈as＋形容詞＋名詞＋as …〉の語順になります。
Reiko is as old as Yuki.
→ふつうの〈as ～ as …〉
（レイコとユキは同じ年です）
Reiko has as many books as Yuki.
→ 〈形容詞＋名詞〉を離さない！
（レイコはユキと同じくらい（たくさんの）本を持っています）