下に違いを例文で示します。日本語訳は少し大げさに示しています。

[相手に許可を求めるとき]
・Can I use your pen?（ちょっとあなたのペンを使ってもいいですか）
・May I use your pen?（あなたのペンを使わせていただいてもよろしいでしょうか）
※友達に「ペンを借りるね！」というニュアンスで言う場合は，May I～?を使うと少し丁寧すぎます。
　Can I～?を使ったほうが自然です。反対に目上の人などにどうしても借りなければいけない場合などはMay I～?を使いましょう。

[相手に依頼するとき]
・Can you help me?（ちょっと手伝ってもらえませんか）
・Could you help me?（ちょっと手伝っていただけませんでしょうか）
※友達などに「ちょっとお願い！ 手伝ってもらえる？」というニュアンスで頼むときはCan you～?を使います。あまり親しくない人や目上の人，客などに依頼するときはCould you～?を使ったほうがよいです。